Kesirli mertebeden kısmi türevli denklemlerin çözümü için bir hibrit yöntem ve uygulamaları

Abstract

Bu tezde, Caputo-Fabrizio türevleri ve Laplace dönüşümleri kullanılarak kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü için hibrit ve ileri düzey bir yöntem sunulmuştur. Çalışma dört ana bölümde düzenlenmiştir. Birinci bölümde, temel kavramlar ve konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacak uygulamalı bilgiler sunulmuştur. İkinci bölümde, Riemann-Liouville, Caputo ve Caputo-Fabrizio gibi kesirli türevlerin tanımları ve özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde, önerilen yöntem tanıtılmış ve bu yöntem, Newell- Whitehead-Segel denklemi, Jeofiziksel Korteweg-de Vries (gKdV) denklemi gibi temel denklemler üzerinde uygulanmıştır. Önerilen yöntem, literatürdeki mevcut çözümlerle karşılaştırılarak doğruluğu ve etkinliği kanıtlanmış kesin ve verimli çözümler sunmaktadır. Bu çalışma, mühendislik, fizik ve uygulamalı bilimlerdeki karmaşık sistemlerin çözümü için güvenilir araçlar sunarak kesirli analiz alanına önemli bir katkı sağlamaktadır.

This thesis develops hybrid and advanced methods for solving fractional differential equations using Caputo-Fabrizio derivatives and transforms. The study is organized into four main sections. The first section introduces fundamental concepts and practical applications to enhance understanding. The second section examines the definitions and properties of fractional derivatives, including Riemann-Liouville, Caputo, and Caputo-Fabrizio. In the third section, the proposed method is introduced and applied to key equations such as the Newell-Whitehead-Segel equation and the Geophysical Korteweg-de Vries (gKdV) equation. In the fourth section, the proposed methods offer accurate and efficient solutions, validated through comparisons with existing solutions and exact results in the literature. This research significantly contributes to fractional calculus by providing reliable tools for addressing complex systems in engineering, physics, and applied sciences.