Mutlak çift seri uzayları ve matris dönüşümleri

Abstract

Bu tez dört ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çift diziler ve serilerle ilgili literatürde yer alan bazı çalışmalardan bahsedildi. Özellikle, Cesàro ve Riesz ortalaması gibi iyi bilinen toplanabilme metotları ile ilgili çift dizi uzaylarına değinildi. İkinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar ve teoremler verildi. Çift diziler ve serilerle ilgili yakınsaklık kavramlarından bahsedildi. Ayrıca tek indisli seriler için bazı toplanabilme metotları ve bu metotların çift seriler için tanımları verildi. Üçüncü bölümde, birinci mertebeden Cesàro ortalaması ve Riesz ortalamasının daha genel hali olan çarpımsal matris ile mutlak toplanabilme metodu kavramını birleştirmek suretiyle mutlak ağırlıklı çift seri |N̅p,q|kuzayının genişlemesi olarak yeni bir mutlak çarpımsal |𝐹𝑎,𝑏𝑢,𝜃|𝑘 çift seri uzayı tanımlandı. Bu çift seri uzayının bazı cebirsel ve topolojik özellikleri incelendi ve bu uzayın bir Banach uzayı olduğu, ℒ𝑘 uzayına norm izomorfik olduğu gösterildi. Ayrıca, |𝐹𝑎,𝑏𝑢,𝜃|𝑘 mutlak çarpımsal çift seri uzayının 𝛼-, 𝛽(𝑏𝑝) -, ve 𝛾- dualleri belirlenerek bazı matris dönüşümleri karakterize edildi. Böylece tek indisli seriler için birinci mertebeden Cesàro ortalaması ve Riesz ortalaması ile ilgili çalışmalar dört boyutlu çarpımsal matris yardımıyla çift serilere genişletildi. Dördüncü bölümde, 𝛼,𝛽>−1 ve 𝑘≥1 için |𝐶,𝛼,𝛽|𝑘 mutlak çift Cesàro toplanabilme metodu kullanılarak yeni bir |𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘 çift seri uzayı tanımlandı ve bu çift seri uzayının bazı cebirsel ve topolojik özellikleri incelendi. Ayrıca bu uzayın, 𝛼-, 𝛽(𝑏𝑝) -, ve 𝛾- dualleri belirlenerek (|𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘,𝜆), (|𝐶̃𝛼,𝛽|1,𝜇), (ℒ𝑢,|𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘) ve(ℒ𝑘,|𝐶̃𝛼,𝛽|1) dört boyutlu matris sınıfları karakterize edildi, burada 𝜆 ve 𝜇, 𝜆∈{M𝓊,𝒞𝑏𝑝,ℒ𝑢} ve 1<𝑘<∞ için 𝜇∈{M𝓊,𝒞𝑏𝑝,ℒ𝑘} olacak şekilde herhangi iki çift dizi uzayıdır. Böylece, Sarıgöl (2011, 2016a), Hazar ve Sarıgöl’ün (2018) tek indisli seriler için tanımlanan Riesz ve Cesàro seri uzaylarıyla ilgili iyi bilinen sonuçları ve Mursaleen ve Başar’ın (2014) Cesàro çift dizileri için temel sonuçları mutlak çift seri uzaylarına genişletildi.

This thesis consists of four main chapters. In the first chapter, some studies in the literature on double sequences and series were mentioned. In particular, the most well-known summability methods related to the double Cesàro and Riesz means and some double sequence spaces were given. In the second section, some basic definitions and theorems that will be used in other sections were given. The concepts of convergence related to double sequences and series were mentioned. In addition, some summability methods for single series and the definitions of these methods for double series were explained. In the third chapter, a new absolutely factorable |𝐹𝑎,𝑏𝑢,𝜃|𝑘double series space is defined as the extension of the absolutely weighted double series |𝑁̅𝑝,𝑞|𝑘by combining the double factorable matrix, which is a more general form of the first-order Cesàro and the Riesz means, with the concept of the absolute summability method. Some algebraic and topological properties of this double series space are investigated, and it is shown that this space is a Banach space and norm isomorphic to the double sequence space ℒ𝑘. Further, by determining the 𝛼 -, 𝛽(𝑏𝑝), and 𝛾 -duals of this space, some matrix transformations are characterized. Hence, some important results concerned on Riesz and Cesàro matrix methods are extended to double sequences owing to four dimensional factorable matrix. In the fourth chapter, a new double series space |𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘 is defined using |𝐶,𝛼,𝛽|𝑘 absolute double Cesàro summability method for 𝑘≥1 and 𝛼,𝛽>−1 and some algebraic and topological properties of this space are examined. Also, the 𝛼 -, 𝛽(𝑏𝑝)-, and 𝛾 -duals of this double series space are determined. Further, the classes of four dimensional matrices (|𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘,𝜆),(|𝐶̃𝛼,𝛽|1,𝜇), (ℒ𝑢,|𝐶̃𝛼,𝛽|𝑘) and (ℒ𝑘,|𝐶̃𝛼,𝛽|1) are characterized, where 𝜆 and 𝜇 denote the spaces of double sequences such that 𝜆∈{M𝓊,𝒞𝑏𝑝,ℒ𝑢} and 𝜇∈{M𝓊,𝒞𝑏𝑝,ℒ𝑘} for 1<𝑘<∞. Hence, the well known results for single series spaces of Sarıgöl (2011, 2016a), Sarıgöl and Hazar (2018) on the Riesz and Cesàro series spaces and the fundamental results of Mursaleen and Başar (2014) for double Cesàro sequences are extended to absolute double summability.