Dijital topolojide sabit nokta teoremleri

Abstract

Bu tezde, dijital topolojik uzaylarda sabit nokta teoremleri incelenmiştir. Öncelikle dijital yakınlık bagıntısı, dijital aralıklar, bağlantılılık, dijital homeomorfizma ve homotopi kavramları ele alınmıştır. Ardından dijital metrik uzaylar tanıtılmış, Hausdorff metrigi, Euler karakteristiği ve Lusternik–Schnirelmann kategorisi gibi topolojik ölçütler açıklanmıştır. Tezin odak noktası ise dijital metrik uzaylarda kontraksiyon koşulları altında Banach, Kannan, Chatterjea, Reich ve Zamfirescu tip sabit nokta teoremleridir. Dijital kontraksiyon dönüşümlerinin sabit nokta özellikleri detaylı olarak incelenmiş ve κ-baglantılı ya da bağlantısız yapılar üzerindeki davranışları örneklerle açıklanmıştır. Bu çalışma, dijital topolojide sabit nokta teoremlerinin dijital metrik yapılar üzerindeki geçerliliğini sistemli biçimde göstermeyi ve bu alandaki kuramsal altyapıyı güçlendirmeyi hedeflemektedir.In this thesis, fixed point theorems in the context of digital topology are examined. Digital topology enables the application of classical topological concepts to finite and discrete structures, making it possible to analyze digital images. This study first introduces fundamental concepts such as digital adjacency relations, digital intervals, connectedness, digital homeomorphism, and homotopy. Then, digital metric spaces are presented, and topological measures such as Hausdorff distance, Euler characteristic, and Lusternik–Schnirelmann category are explained. The main focus of this thesis is to establish digital analogues of fixed point theorems of Banach, Kannan, Chatterjea, Reich, and Zamfirescu types under contraction conditions in digital metric spaces. The properties of digital contraction mappings and their behavior on κ-connected and disconnected structures are examined in detail with examples. This study aims to systematically demonstrate the validity of fixed point theorems in digital metric spaces and to strengthen the theoretical foundation in this area.