Chebyshev türevleme matrisleri ve bazı uygulamaları

Abstract

Bu tezde, spektral metotların temel özellikleri ve Kısmi Diferansiyel Denklemler (KDD) in sayısal çözümlerine uygulamaları verilmektedir. Spektral metotların temel özelliği, deneme fonksiyonları olarak sonsuz diferansiyellenebilir global fonksiyonların farklı ortogonal sistemlerini kullanmasıdır. Farklı deneme fonksiyonlarının kullanımı farklı spektral yaklaşımlara yol açmaktadır. Biz burada sadece periyodik olmayan problemler için tercih edilen Chebyshev polinomlarını ele almaktayız. Bu duruma karşı gelen türevleme matrisleri Chebyshev noktaları kullanılarak oluşturulmuş ve bu matrislerin KDD ler için başlangıç ve sınır değer problemlerini çözmede nasıl kullanıldığı örneklerle açıklanmıştır. Kartezyen koordinatlarda iki boyutlu Poisson ve Helmholtz denklemleri, bir ve iki boyutlu dalga denklemleri ve iki boyutlu Laplace denklemi için özdeğer problemleri gibi çeşitli denklemler sayısal olarak çözülmüş ve sonuçlar grafik formunda verilmiştir.

In this thesis, the essential aspects of spectral methods and their applications to the numerical solution of Partial Differential Equations (PDEs) are presented. The main feature of the spectral methods is to take various orthogonal systems of infinitely differentiable global functions as trial functions. Different trial functions lead to different spectral approximations. We only consider here Chebyshev polynomials which are used for non-periodic problems. Differentiation matrices corresponding to this case are constructed using the Chebyshev points. It is illustrated how such matrices can be used to solve initial and boundary value problems for PDEs. Several equations like Poisson and Helmholtz in 2D Cartesian coordinates, wave equation in one and two spatial dimensions, and eigenvalue problems for Laplace equation in 2D domain are solved numerically and the results are presented in graphical forms.