Operatör ayırma metodu kullanılarak adveksiyon-dispersiyon denkleminin sayısal çözümü

Abstract

Operatör ayırma metotları adveksiyon-dispersiyon denkleminin çözümünde son yıllarda kullanım alanı bulmaya başlamıştır. Bu metotlar adveksiyon-dispersiyon denklemini, adveksiyon ve dispersiyon olmak üzere iki farklı prosese ayırmaktadır. Bu sayede hem proseslere uygun metot seçilerek sonuçlar iyileştirilmekte hem de çok boyutlu problemler bir boyutlu problemler gibi kolaylıkla çözülebilmektedir. Ancak bu metotların sağladığı faydaların yanında bazı ayırma hataları sonucu etkilemektedir. Bu çalışmada operatör ayırma metotlarının çözüme olan etkileri incelenmiştir. Çalışma kapsamında Lie-Trotter ve Strang ayırma metotları olmak üzere iki operatör ayırma metodu kullanılmış ve çeşitli Courant ve Peclet sayılarında karşılaştırmaları yapılmıştır. Bu metotlar bir boyutta ve iki boyutta saf adveksiyon, adveksiyon-dispersiyon problemlerine uygulanmıştır. Ayrıca ani değişen çözümlere sahip problemde test edilmişlerdir. Adveksiyon prosesinin çözümünde kübik spline interpolasyonunu kullanan bir karakteristikler metodu (MOC-CS), dispersiyon prosesinin çözümünde ise Crank-Nicolson (CN) sonlu fark şeması kullanılmıştır. MOC-CS ve MOC-CS-CN metotları dört adet bir boyutlu ve iki adet iki boyutlu probleme uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlar hem analitik çözümlerle hem de literatürdeki diğer yöntemlerle karşılaştırılmıştır. MOC-CS ve MOC-CS- CN metotlarının literatürdeki diğer yöntemlere göre daha düşük hata normlarına sahip olduğu görülmüştür. Bunun yanı sıra özellikle ani değişen çözümlere sahip problemlerde Strang ayırma metodunun etkinliği göze çarpmaktadır. MOC-CS ve MOC-CS-CN metotları koşulsuz stabildirler. Bununla birlikte yüksek zaman adımları kullanıldığında da kaliteli çözümler sağlamaktadırlar.

In recent years operator splitting methods started to have an area of use in the solution of advection-dispersion equation. These methods split advection-dispersion equation into two different processes such as advection and dispersion. Thus suitable methods can be chosen for the nature of each process and also multidimensional problems can be solved as if they are one dimensional problems. However, in addition to the benefits provided by these methods, some splitting errors affect the end result. In this study, effects of operator splitting methods to the solution of advection-dispersion equation are examined. Within the context of this work two operator splitting methods, Lie-Trotter and Strang splitting methods, were used and comparisons were made through various Courant and Peclet numbers. These methods have been implemented to pure advection and advection-dispersion problems in one- and two-dimensions. They have also been tested in a problem which has sharp gradient. Numerical solutions of advection and dispersion processes were carried out by a characteristics method with cubic spline interpolation (MOC-CS) and Crank-Nicolson (CN) finite difference scheme, respectively. MOC-CS and MOC-CS-CN methods were used to solve the six one- and two-dimensional problems. Obtained results were compared with analytical solutions of the problems and available methods in the literature. It is seen that MOC-CS and MOC-CS-CN methods have lower error norm values than the other methods. In addition, the effectiveness of Strang splitting in the solution of the problem which has a sharp gradient is eye-catching. MOC-CS and MOC-CS-CN methods are unconditionally stable and also they produce accurate results even while the time steps are great.