Balans sayıları ve pell denklemleri

Abstract

Bu tez temel olarak dört ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde sayılar teorisindeki temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca indirgeme bağıntısı, Fibonacci ve Lucas sayı dizileri ve bunlara ilişkin indirgeme bağıntıları, Binet Formülleri ile üreteç fonksiyonları oluşturuldu. İkinci bölümde x2-dy2 =1 ve x2-dy2 = N tipindeki Pell denklemleri tanımlanarak çözümlerinin varlığı üzerinde duruldu. Bu bölümde ayrıca sürekli kesir kavramı tanımlanarak d nin sürekli kesir açılımı yardımıyla x2-dy2 =1 ve x2-dy2 = N tipindeki Pell denklemlerinin temel ve genel çözümlerine ulaşıldı. Üçüncü bölümde Balans ve Kobalans sayıları tanımlanarak Balans ve Kobalans sayıları için kriterler ortaya kondu. Balans ve Kobalans sayılarının indirgeme bağıntıları, Binet Formülleri ve de üreteç fonksiyonları verildi. Bu bölümde ayrıca Lucas-Balans, Lucas-Kobalans sayıları tanımlanarak indirgeme bağıntıları ile Binet Formülleri verildi. Dördüncü bölümde Gaplı Balans sayı ve k-Gaplı Balans sayı tanımları yapılarak 2-gaplı, 3-gaplı, 4-gaplı, 5-gaplı Balans sayıları için Binet Formüllerine x2-2y2 =7 , x2-8y2 =17 , x2-2y2 =31, x2-8y2 =49 genel Pell denklemlerinin genel çözümleri ile bağlantı kurularak ulaşıldı. Ayrıca, k =2,3,4,5 için k-gaplı Balans sayıları ile Lucas Balans ve Lucas Kobalans sayıları arasındaki bağıntılara ulaşıldı.

This thesis is mainly composed of four main sections. In the first section, basic definitions and theorem in number theory are given moreover, recurrence relations, Fibonacci and Lucas numbers sequence and related recurrence relations, besides Binet and Generating functions are formed. In the second part of the study, x2-dy2 =1 and x2-dy2 = N type Pell equations are identified and thus the presence of solutions are dwelled on. Besides, in this sections, by identifying the consept of continued fraction with the help of d ’s continued fractions expansion, fundemantel and general solutions of x2-dy2 =1 and x2-dy2 = N type Pell equation are obtained. In the third section of the study , Balancing and Cobalancing numbers are defined to intoduce a criteria. In addition, recurrence relations of Balancing and Cobalancing numbers, Binet formulas and generating functions are given. Here also Lucas-Balancing, , Lucas-Cobalancing are defined and Binet formulas with reccurance relations are given. In forth and last section, by defining Gap Balancing numbers and k-Gap Balancing numbers for k =2,3,4,5 , the Binet formulas x2-2y2 =7, x2-8y2 =17 , x2-2y2 =31 , x2-8y2 =49 are obtained by correlating with general solutions of general Pell equations. Moreover, for k =2,3,4,5 , the relations between k - Gap Balancing numbers and Lucas-Balancing , Lucas- Cobalancing numbers are archieved.