Kuadratik formlar ve kuaterniyon cebirleri

Abstract

Bu çalışmada önce kuadratik formlar sınıflandırıldı. Sonra Clifford cebirleri ve kuadratik formlar arasındaki bağıntılar incelendi. Bu amaçla, kuadratik formlar ile ilgili temel bilgiler verildi. Hiperbolik düzlem ve hiperbolik uzay ve ayrıca hiperbolik uzaya karşılık gelen kuadratik form incelendi. İkinci bölümde ise, reel kuadratik formlar ele alındı. Bu kuadratik forma karşılık gelen matris çalışıldı. Örnekler verildi ve kuadratik formların gösterdiği eğriler çizildi. Üçüncü bölümde, kuaterniyon cebirleri çalışıldı ve temel özellikleri verildi. Bu konu ile ilgili bazı temel teorem ve sonuçlar verildi. Dördüncü bölümde, Clifford cebirinin yapısını oluşturan geometrik kavramlar tanıtıldı. Vektörler arasında bilinen skaler çarpımın yanı sıra, iç ve dış çarpım kullanılarak bu çarpımların geometrik anlamlarına değinildi. Ayrıca, geometrik çarpım yardımıyla da Clifford cebirinin nasıl oluşturulduğu açıklandı. Son olarak beşinci bölümde ise, genelleştirilmiş Fibonacci kuaterniyonları incelendi ve Clifford cebirleri yardımıyla, ?(????1, ????2) yapısını bir bölüm cebiri yapacak şartlar incelendi.

In this study, quadratic forms were first classified. Later the relations between Clifford algebras and quadratic forms were tried. For this purpose, the basic information about quadratic forms is given. The hyperbolic plane and hyperbolic space and also the quadratic form corresponding to the hyperbolic space is investigated. In the second section, real quadratic forms are considered. The matrix corresponding to this quadratic form was studied. Examples are given, and curves of the quadratic forms were drawn. In third section quaternion algebra was studied and their basic properties were given. Some basic theorems and corollaries about this subject are given. In fourth section, the geometric concepts that related with the structure of the Clifford algebra are introduced. In addition to known scalar multiplication among vectors the geometric meanings of these products were mentioned by using the inner and outer product. Furthermore, it was explained how the Clifford algebra was created by using geometric multiplication. Finally, in the fifth section, Generalized Fibonacci quaternions were examined and the conditions related to the algebraic structure of ?(???1, ???2) such that it can be a division algebra were investigated by Clifford algebras.