Minkowski 3 uzayında split kuaterniyonların geometrisi: Dönmeler ve asli eğrilikler

Abstract

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde öncelikle Minkowski ve Hamiton’nın hayatı ve çalışmaları ile ilgili kısa bir tarihçe sunuldu. Daha sonra çalışmamızın sonraki bölümlerinde kullanılacak temel yapılar tanımlanmıştır. İkinci bölümde, kuaterniyon cebiri ve split kuaterniyon cebiri tanımlandı. Aynı zamanda, kuaterniyonlara karşılık gelen matris formu verildi. Ayrıca, üçüncü bölüm için timelike, spacelike ve lightlike kuaterniyon tanımları verildi. Üçüncü bölümde, split kuaterniyonlar ile dönme geometrisi verildi. Bu bölümde split kuaterniyonlar için dönme matrisi tanımlandı ve özellikleri incelendi. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde oluşturulan dönme matrisinin özdeğer ve özvektörleri bulundu. Split kuaterniyonların türüne göre bulunan özdeğer ve özvektörler incelendi ve örnekler verildi. Beşinci bölümde ise, kuaterniyonlar ile Minkowski uzayının özdeş olmasından yararlanılarak kuaterniyonlar için asli eğrilikler incelendi. Kuaterniyonlar ve split kuaterniyonlar için şekil operatörü bulundu ve bu şekil operatörüne karşılık gelen asli eğrilik ve asli doğrultmalar verildi. Aynı zamanda, saf kuaterniyonlar ve saf split kuaterniyonlar içinde asli eğrilik ve asli doğrultmanlar bulundu.

This study consists of five parts. In the first part, firstly a brief history of Minkowski and Hamiton's life and work was presented. The basic structures, which used in the later sections to be defined. In the second part, quaternary algebra and split quaternion algebra are defined. At the same time, the matrix form corresponding to the quaternions was given. In addition, timelike, spacelike and lightlike quaternion definitions were given for using in the third part. In the third part, the rotation geometry is given by the split quaternions. In this section, the rotation matrix for split quaternions is defined and its properties are examined. In the fourth part, eigenvalues and eigenvectors of the rotation matrix that created in the third part were found. The eigenvalues and eigenvectors calculated for the split quaternions type. In the fifth part, the principal curvatures for quaternions were examined by using identically of Minkowski space and quaternions. For quaternions and split quaternions, the shape operator was found and the principal curvature and principal directions corresponding to this shape operator were given. Similarly, principal curvature and principal directions corresponding to pure quaternions and pure split quaternions were calculated.