Kesirli diferansiyel denklemler için analitik çözümler

Abstract

Bu tez çalışması beş ana bölümden oluşacak şekilde düzenlenmiştir. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış ve literatür hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde öncelikle kesirli türevin tarihsel gelişim sürecinden bahsedilmiş ve ardından uyumlu (conformable) kesirli türev ele alınmıştır. Üçüncü bölümde Jacobi eliptik fonksiyonları üzerinde durulmuştur. Bu fonksiyonların özellikleri, türevleri, integralleri, toplam formülleri ve Taylor serisi sunulmuştur. Dördüncü bölümde kesirli kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılacak olan birinci mertebeden lineer olmayan adi diferansiyel (yardımcı) denklemin çözümleri araştırılmış ve bu denklemin yeni çözümlerini bulmak için bazı teorem ve sonuçlar elde edilmiştir. Bu teorem ve sonuçlar göz önünde bulundurularak sonsuz sayıda çözüm bulunabileceği görülmüştür. Beşinci bölümde ise Jacobi eliptik fonksiyonlarına dayalı analitik yöntem kullanılarak sırasıyla uyumlu zaman, uzay ve uzay-zaman kesirli çeşitli kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca yardımcı denklemin bazı çözümleri tablo olarak Ek A’da sunulmuştur.

This thesis is arranged to consist of five main chapters. The first chapter is devoted to the introduction and information is given about the literature. In the second chapter, historical development process of the fractional derivative is mentioned and then the conformable fractional derivative is discussed. In the third chapter, Jacobi elliptic functions are emphasized. Properties of the derivatives, integrals, addition formulas and Taylor series of these functions are presented. In the fourth chapter, the solutions of the first order nonlinear ordinary differential (auxiliary) equation which will be used in the solution of fractional partial differential equations are investigated and some theorems and results are obtained to find new solutions of this equation. Considering these theorems and results, it was seen that infinitely many solutions can be found. In the fifth chapter, by using the analytic method based on the Jacobi elliptic functions is obtained the exact solutions all of the time, space and space-time fractional partial differential equations, respectively. In addition, some solutions of the auxiliary equation are presented in Appendix A by the table.