Süper manifoldlar üzerinde zamana bağlı mekanik sistemler ve graf demet uygulamaları

Abstract

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, öncelikle Süper Simetri ve Graf Teorinin tarihçesine değinilmiştir. Daha sonra, mekanik enerji sistemleri için gerekli olan demet yapılarının genel formu ele alınarak Euler-Lagrange ve Hamilton denklemlerinin elde ediliş yöntemi anlatılmıştır. Ayrıca çalışmamızın temelini oluşturacak olan süper uzay yapısı altında temel tanımlar verilerek, süper vektör uzayı, baz kavramı ve süper uzayın harita ve atlas yapısı sunulmuştur. Son olarak, Graf Teorinin temel elemanları olan köşe(vertex) ve kenar(edge) tanımları ve bu elemanlarla birlikte problemlerin çözümünde kullanılacak olan bazı kavramlar ve Graf manifold ile Graf demet yapısının tanımı verilmiştir. İkinci bölümde, birinci bölümde verilen mekanik enerji sistemlerini elde etmek için gerekli olan demet yapısı, zamana bağlı Süper Euler-Lagrange ve Hamilton enerji denklemlerinin çözümleri için gerekli olan geometrik yapılar, süper uzay yapısına uygun olarak tanımlanmış ve süper mekanik sistemler elde edilmiştir. Yine süper uzayda tanımlanan süper çember, süper helis ve süper logaritmik spiral eğrileri üzerinde bir parçacığın hareketi incelenmiş ve elde edilen süper enerji denklemleri kullanılarak süper enerji fonksiyonları bulunmuş, çalışmanın birer uygulaması olarak sunulmuştur. Üçüncü bölümde, birinci bölümde verilen Graf teorinin temel tanımları, süper uzay yapısına uygun şekilde ifade edilerek, literatüre kazandırılmıştır. Bununla birlikte, ikinci bölümde süper uzayda elde edilen süper Euler-Lagrange ve Hamilton mekanik sistemler, yeni süper Graf teoriye göre tanımlanmış geometrik yapılar ile elde edilerek, süper logaritmik spiral eğrisi üzerinde süper enerji fonksiyonları yeni tanımlanan bu süper Graf yapısına bağlı bulunarak, çalışmanın uygulaması olarak sunulmuştur. Dördüncü bölümde, birinci bölümde, ikinci bölümde ve üçüncü bölümde elde edilen sonuçların diğer uzaylarla karşılaştırması yapılmış, çalışmanın amacına uygunluğu, geçerliliği ve doğruluğu konusunda değerlendirmede bulunulmuştur.

This study consists of four sections. In the first chapter, firstly, the history of Supersymmetry and Graph Theory is mentioned. Then, the general form of bundle structures required for mechanical energy systems is discussed and the method of obtaining Euler-Lagrange and Hamilton equations is explained. In addition, by giving basic definitions on the super space structure that will form the basis of our study, the super vector space, the concept of base and the map and atlas structure of the super space are presented. Finally, the definitions of vertex and edge, which are the basic elements of Graph Theory, and some concepts to be used in solving the problems with these elements, as well as the definition of the Graph manifold and Graph bundle structure are given. In the second chapter, the bundle structure required to obtain the mechanical energy systems are given in the first chapter, the geometric structures required for the solution of the time dependent super Euler-Lagrange and Hamilton energy equations are defined in accordance with the super space structure and super-mechanical systems are obtained. Then, the motion of a particle on the super circle, super helix and super logarithmic spiral curves defined in the super space has been investigated and the super energy functions have been found using the obtained super energy equations, presented as an application of the study. In the third chapter, basic definitions of Graph theory given in the first chapter have been brought to the literature by expressing them in accordance with the super space structure. However, in the second chapter, the super Euler-Lagrange and Hamilton mechanical systems obtained in the super space have been obtained with geometric structures defined according to the new Super Graph theory, and the super energy functions on the super logarithmic spiral curve are found in accordance with the new super graph structure and presented as the application of the study. In the fourth part, the results obtained in the first part, in the second part and in the third part were compared with other spaces, and evaluations were made about the suitability, validity and accuracy of the study.