Bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin tam çözümleri için metotlar

Abstract

Fen ve mühendislik alanlarındaki birçok problem farklı tipte lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem (LOKDD) veya kuple LOKDD sistemlerince yönetilir. Bu tipteki denklemlerin tam çözümlerinin elimizde olması, lineer olmayan fiziksel olayların derinlemesine incelenmesine, sayısal çözücülerin test edilmesine ve aynı zamanda çözümlerin kararlılık analizlerinin yapılmasına olanak sağlar. Bu çalışmada, bir bilgisayar cebiri sistemi olan Maple yardımıyla bazı LOKDD ve kuple LOKDD sistemlerinin tam çözümleri için farklı yaklaşımlar takip edilmektedir. Bunlardan son zamanlarda geliştirilen beş metot, ki bunlar tanh-fonksiyonu metodu, hiperbolik fonksiyon metodu, ilk integral metodu, kosinüs fonksiyonu metodu ve genelleştirilmiş Kudryashov metodu, göz önüne alınmaktadır. Bu metotlar LOKDD ve kuple LOKDD sistemlerinin ilerleyen dalga çözümlerini elde etmemizi mümkün kılmaktadırlar. Bu metotların kullanımı dalga teorisi, lineer olmayan mekanik, hidrodinamik, gaz dinamiği, lineer olmayan akustik, lineer olmayan optik ve kontrol teorisi gibi uygulamalarda karşımıza çıkan çeşitli lineer olamayan evrim denklemlerine uygulanarak açıklanmaktadır. Elde edilen çözümlerden bazılarının grafikleri verilmektedir.

Many problems in science and engineering are governed by different types of nonlinear partial differential equations (NLPDEs) or systems of coupled NLPDEs. Having exact solutions of these types of equations makes it possible to study nonlinear physical phenomena thoroughly and facilitates testing the numerical solvers as well as aiding the stability analysis of solutions. In this work, we follow different approaches for finding exact solutions of some NLPDEs and systems of coupled NLPDEs with the aid of computer algebra system, Maple. We consider recently developed five methods, namely, tanh-function method, hyperbolic function method, first integral method, cosine function method and generalized Kudryashov method. These methods allow us to construct travelling wave solutions of NLPDEs and systems of coupled NLPDEs. The use of these methods is illustrated by applying them to a variety of nonlinear evolution equations arising in various applications, such as wave theory, nonlinear mechanics, hydrodynamics, gas dynamics, nonlinear acoustics, nonlinear optics, and control theory. Graphs are drawn for some of the obtained solutions.